Question

16．已知函数f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R）在x=ln2处的切线方程为y=x-2ln2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0，k≤2时，求证：（k-x）f'（x）＜x+1（其中f'（x）为f（x）的导函数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（ln2）=1，求出a的值，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为（k-x）e^x-k-1＜0，令g（x）=（k-x）e^x-k-1，（x＞0），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
由已知得f′（ln2）=1，故e^ln2+a=1，解得a=-1，
又f（ln2）=-ln2，得e^ln2-ln2+b=-ln2，解得：b=-2，
f（x）=e^x-x-2，所以f′（x）=e^x-1，
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调区间递增区间为（0，+∞），递减区间为（-∞，0）；
证明：（Ⅱ）由已知（k-x）f′（x）＜x+1，及f′（x）=e^x-1，
整理得（k-x）e^x-k-1＜0，
令g（x）=（k-x）e^x-k-1，（x＞0），g′（x）=（k-1-x）e^x，
g′（x）=0得，x=k-1，
①因为x＞0，所以g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上为减函数，
g（x）＜g（0）=-1＜0，满足条件．  
②当1＜k≤2时，x∈（0，k-1），g′（x）＞0，g（x）在上为增函数；
x∈（k-1，+∞），g′（x）＜0，g（x）在上为减函数．
所以g（x）_max=g（k-1）=e^k-1-（k+1），
令h（k）=e^k-1-（k+1），（1＜k≤2），h′（k）=e^k-1-1＞0，
h（k）在k∈（1，2]上为增函数，所以h（k）≤h（2）=e-3＜0，
故当x＞0，k≤2时，（k-x）f′（x）＜x+1成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．