Question

17．设函数f（x）=（x+b）lnx，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直．
（Ⅰ） 求b的值．
（Ⅱ） 若函数$g（x）={e^x}（\frac{f（x）}{x+1}-a）（a≠0）$，且g（x）在区间（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据切线的斜率，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，问题a≥$\frac{1}{x}$+ln x，令h（x）=$\frac{1}{x}$+ln x（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2，-------（2分）
又f′（x）=ln x+$\frac{b}{x}$+1，即ln 1+b+1=2，所以b=1．---------------------------------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 g（x）=${e^x}（\frac{f（x）}{x+1}-a）$=e^xln x-ae^x
所以 g′（x）=（$\frac{1}{x}$-a+ln x）e^x（x＞0），----------------------------------------------------（6分）
若g（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}$-a+ln x≤0，所以a≥$\frac{1}{x}$+ln x．-----------------------------------------------------（8分）
令h（x）=$\frac{1}{x}$+ln x（x＞0），则h′（x）=-$\frac{1}{x2}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x2}$
由h′（x）＞0，得x＞1，h′（x）＜0，得0＜x＜1，
故函数h（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
则$\frac{1}{x}$+ln x→∞，h（x）无最大值，g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
故g（x）在（0，+∞）不可能是单调减函数．------------------------------------------------------（10分）
若g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{x}$-a+ln x≥0，所以a≤$\frac{1}{x}$+ln x，由前面推理知，h（x）=$\frac{1}{x}$+ln x的最小值为1，
∴a≤1，故a的取值范围是（-∞，1]．-------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．