Question

10．设x＞0．
（1）证明：${e^x}＞1+x+\frac{1}{2}{x^2}$；
（2）若${e^x}=1+x+\frac{1}{2}{x^2}{e^y}$，证明：0＜y＜x．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²），x＞0，求出导数，令g（x）=e^x-（1+x），求得单调性，即可得证；
（2）设h（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²e^x），x＞0，求出导数，设p（x）=h′（x），x＞0，判断单调性，可得h（x）＜h（0）=0，结合指数函数的单调性，即可得证．

解答 证明：（1）设f（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²），x＞0，
f′（x）=e^x-（1+x），x＞0，
令g（x）=e^x-（1+x），g′（x）=e^x-1，
当x＞0，e^x＞1，g′（x）＞0，g（x）在x＞0递增，
可得g（x）＞g（0）=0，
即为f′（x）＞0，f（x）在x＞0递增，
可得f（x）＞f（0）=0，
即有e^x＞1+x+$\frac{1}{2}$x²，x＞0；
（2）设h（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²e^x），x＞0，
h′（x）=e^x-（1+x+$\frac{1}{2}$x²e^x），x＞0，
设p（x）=h′（x），x＞0，p′（x）=-2xe^x-$\frac{1}{2}$x²e^x＜0，
可得p（x）在（0，+∞）递减，即有h′（x）=p（x）＜p（0）=0，
可得h（x）在（0，+∞）递减，即有h（x）＜h（0）=0，
即有$\frac{2（{e}^{x}-1-x）}{{x}^{2}}$＜e^x，x＞0，
则e⁰=1＜e^y=$\frac{2（{e}^{x}-1-x）}{{x}^{2}}$＜e^x，
可得0＜y＜x．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数，运用导数判断单调性，考查指数函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．