Question

18．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，Q，M分别为PA，BC的中点．
（1）证明：直线QM∥平面PCD；
（2）若二面角A-BD-Q所成角正切值为2，求直线QC与平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点N，连结QN，MN．可通过证明平面QMN∥平面PCD得出QM∥平面PCD；
（2）在平面ABCD内过C作CE⊥AD交延长线于E，连结QE，则CE⊥平面PAD，设菱形边长为1，利用勾股定理，二面角的大小，菱形的性质等计算AC，AE，AQ，得出CE，QE，于是tan∠CQE=$\frac{CE}{QE}$．

解答 证明：（1）取AD的中点N，连结QN，MN．
∵底面ABCD为菱形，M，N是BC，AD的中点，
∴MN∥CD，
∵Q，N是PA，AD的中点，
∴QN∥PD，
又QN?平面QMN，MN?平面QMN，QN∩MN=N，CD?平面PCD，PD?平面PCD，CD∩PD=D，
∴平面QMN∥平面PCD，∵QM?平面QMN，
∴QM∥平面PCD．
（2）连结AC交BD于O，连结QO．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AD=AB，QA为公共边，
∴Rt△QAD≌Rt△QAB，∴QD=QB，
∵O是BD的中点，
∴AO⊥BD，QO⊥BD，
∴∠AOQ为二面角A-BD-Q的平面角，∴tan∠AOQ=2．
在平面ABCD内过C作CE⊥AD交延长线于E，连结QE．
则CE⊥平面PAD，∴∠CQE为直线QC与平面PAD所成的角．
设菱形ABCD的边长为1，∵∠DAB=60°，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴QA=2AO=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AE=$\sqrt{3}$CE=$\frac{3}{2}$，
∴QE=$\sqrt{Q{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴tan∠CQE=$\frac{CE}{QE}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴直线QC与平面PAD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行的判断，线面垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．