Question

15．己知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），A、B是曲线C上两点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
（1）求证：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值．
（2）求$\overrightarrow{|AB|}$的最小值，并以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，在此极坐标系中，求AB所在直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的极坐标方程，由OA⊥OB可设A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{2}$），代入极坐标方程化简即可；
（2）利用极坐标方程计算）|$\overrightarrow{AB}$|²=|OA|²+|OB|²，根据三角函数的性质求出最小值，根据A，B的极坐标得出AB的极坐标方程．

解答 解：（1）曲线C的普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴曲线C的极坐标方程为：ρ²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$，即$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{9}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴OA⊥OB．
设A（ρ₁，θ），则B（ρ₂，$θ+\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{9}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+$\frac{co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{9}$+$\frac{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$=$\frac{13}{36}$．
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$为定值．
（2）|$\overrightarrow{AB}$|²=|OA|²+|OB|²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$+$\frac{36}{4si{n}^{2}θ+9co{s}^{2}θ}$=$\frac{36×13}{36（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）^{2}+25si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$=$\frac{36×13}{36+\frac{25}{4}si{n}^{2}2θ}$．
∴当sin²2θ=1时，|$\overrightarrow{AB}$|²取得最小值$\frac{36×13}{36+\frac{25}{4}}$=$\frac{144}{13}$．
∴|$\overrightarrow{AB}$|的最小值为$\frac{12}{\sqrt{13}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
此时，sin²2θ=1，∴2θ=$±\frac{π}{2}$+2kπ，∴θ=±$\frac{π}{4}$+kπ．
∴A（$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$，±$\frac{π}{4}$），B（$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$，±$\frac{π}{4}+\frac{π}{2}$）．
∴AB的方程为y=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$或x=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$．
∴AB的极坐标方程为ρsinθ=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$或ρcosθ=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．