Question

8．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S-ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2$\sqrt{2}$，则正三棱锥S-ABC的体积为$\frac{4}{3}$，其外接球的表面积为12π．

Answer 1

分析 设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得AC⊥OB，AC⊥SO，于是AC⊥平面SBO，得SB⊥AC，结合SB⊥AM可证SB⊥平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积．外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SO-r|，利用勾股定理列方程解出r．

解答 解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，
∵SO⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥SO，又BO⊥AC，
∴AC⊥平面SBO，∵SB?平面SBO，
∴SB⊥AC，又AM⊥SB，AM?平面SAC，AC?平面SAC，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
同理可证SC⊥平面SAB．
∴SA，SB，SC两两垂直．
∵△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴SA=SB=SC，
∵AB=2$\sqrt{2}$，∴SA=SB=SC=2．
∴三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△SAC}•SB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$．
设外接球球心为N，则N在SO上．
∵BO=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}AB$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．∴SO=$\sqrt{S{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
设外接球半径为r，则NO=SO-r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-r，NB=r，
∵OB²+ON²=NB²，∴$\frac{8}{3}$+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}-r$）²=r²，解得r=$\sqrt{3}$．
∴外接球的表面积S=4π×3=12π．
故答案为：$\frac{4}{3}$，12π．

点评 本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题．