Question

3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overrightarrow x$	$\overrightarrow y$	$\overrightarrow w$	$\sum_{i=1}^8{\;}$（x1-$\overrightarrow x$）2	$\sum_{i=1}^8{\;}$（w1-$\overrightarrow w$）2	$\sum_{i=1}^8{\;}$（x1-$\overrightarrow x$）（y-$\overrightarrow y$）	$\sum_{i=1}^8{\;}$（w1-$\overrightarrow w$）（y-$\overrightarrow y$）
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x．根据（Ⅱ）的结果回答
当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据（u₁ v₁），（u₂ v₂）…..（u_n v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图的分布情况即可判断出正相关；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，求出y关于w的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程；
（Ⅲ）把x=49时代入到回归方程，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，则y=c+dw，
∴d=$\frac{108.8}{1.6}$=68，c=56.3-68×6.8=100.6，
∴y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，
∴y关于x的回归方程为y=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）当x=49时，年销售量y的预报值y=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6．
年利润z的预报值z=576.6×0.2-90=66.32．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．