Question

18．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥底面BEC，EC⊥CB，已知BC=2，AD=AB=EC=1．
（Ⅰ）证明：BD⊥面DEC；
（Ⅱ）求AE与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）以C为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CD}$的坐标，利用向量的数量积为零证明BD⊥CE，BD⊥CD，故而得出BD⊥平面CDE；
（II）由（I）知$\overrightarrow{BD}$为平面CDE的一个法向量，则AE与平面CDE所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AE}$＞|．

解答 （Ⅰ）证明：过C作AB的平行线CZ，则CZ⊥平面BCE，
∵BC⊥EC，CB，CE，CZ两两垂直，
以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示：
∵BC=2，AD=AB=EC=1．
∴B（2，0，0），C（0，0，0），D（1，0，1），E（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{BD}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CE}$=（0，1，0）．
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{BD}$$•\overrightarrow{CE}$=0．
∴BD⊥CD，BD⊥CE，又CD?平面CDE，CE?平面CDE，CD∩CE=C，
∴BD⊥面DEC．
（Ⅱ）∵BD⊥平面CDE，∴$\overrightarrow{BD}$为平面CDE的一个法向量．
∵A（2，0，1），∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，-1），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=1，|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴AE与平面CDE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，多采用向量法来解决问题．