Question

12．已知函数$f（x）={log_2}（1+\frac{1}{x}）$．
（1）求使f（x）＞1的x的取值范围；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（127）的值．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数的性质，化简不等式求解即可．
（2）利用导数的运算性质，化简求解即可．

解答 解：（1）由已知得${log_2}（1+\frac{1}{x}）＞1⇒{log_2}（1+\frac{1}{x}）＞{log_2}2⇒1+\frac{1}{x}＞2⇒\frac{1}{x}＞1⇒0＜x＜1$…．（6分）
（2）f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…f（127）=${log_2}2+{log_2}（1+\frac{1}{2}）+{log_2}（1+\frac{1}{3}）+lo{g_2}（1+\frac{1}{4}）+…+{log_2}（1+\frac{1}{127}）$…（7分）
=${log_2}[2（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{4}）…（1+\frac{1}{127}）]$…..（9分）
=${log_2}[2×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×…×\frac{128}{127}]$=${log_2}128={log_2}{2^7}=7$…．（12分）

点评 本题考查大苏打运算法则的应用，函数值的求法，考查计算能力．