Question

函数f（x）=

2 x -x，x＜0 x2，x≥0

．
（I）若f（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）确定函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）在各段上分别求a的值；
（2）利用函数的单调性的定义进行判断和证明．

解答： 解：（1）有题意可得：

a＜0 2 a -a=1

或

a≥0 a2=1

，
解得：a=-或a=1
（2）假设x₁＜x₂＜0，则
f（x₁）-f（x₂）
=(

2

x1

-x1)=(

2

x2

-x2)
=2（

1

x1

-

1

x2

)-(x1-x2)-（x₁-x₂）
=（x₂-x₁）（(

2

x1x2

+1）
因为x₁＜x₂＜0，
∴x₂-x₁＞0，

2

x1x2

+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x_2）
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义和已知函数值求自变量，属于基础题．