Question

已知函数f（x）=

2

sin（x-

π

4

），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=[f′（x）]²-f（x）f′（x）的最小值和相应的x值．
（2）若f（x）=2f′（x），求

3-cos2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

考点：导数的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先化简，再求导，再化简F（x），继而求出最值，
（2）由题意求出tanx=

1

3

，化简求值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

sin（x-

π

4

）=sinx-cosx
∴f′（x）=cosx+sinx
∵F（x）=[f′（x）]²-f（x）f′（x），
∴F（x）=（cosx+sinx）²-（cosx+sinx）（sinx-cosx）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
其最小值为1-

2

，此时x=kπ-

3π

8

，k∈Z，
（2）∵f（x）=2f′（x），
∴cosx+sinx=2（cosx-sinx），
∴tanx=

1

3

∴

3-cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2(cos2x+2sin2x)

cos2x-sinxcosx

=

2(1+2tan2x)

1-tanx

=

11

3

点评：本题主要考查了导数的运算和和三角函数的化简求值．