题目内容
设函数f（x）在区间（-a，a）内有定义，若当x∈（-a，a）时，恒有|f（x）|≤x2，则x=0必是f（x）的（ ）
| A、间断点 |
| B、连续而不可导点 |
| C、可导点，且f′（0）=0 |
| D、可导点，且f′（0）≠0 |
考点：导数的几何意义,变化的快慢与变化率
专题：导数的概念及应用
分析：根据导数的定义即可求解该题．
解答：
解：由题意有：|f（x）|≤x2
令x=0得：
|f（0）|≤0
因此：f（0）=0．
又因为：
=
=
•x，
因为：-|f（x）|≤f（x）≤|f（x）|≤x2
所以：当x≠0时：
-1≤
≤1；
所以有：
=
•x=0，
由导数的定义即：
f'（0）=0
因此：f（x）在x=0处可导，因此必连续．
故选：C
令x=0得：
|f（0）|≤0
因此：f（0）=0．
又因为：
| lim |
| x→0 |
| f(x)-f(0) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x2 |
因为：-|f（x）|≤f（x）≤|f（x）|≤x2
所以：当x≠0时：
-1≤
| f(x) |
| x |
所以有：
| lim |
| x→0 |
| f(x)-f(0) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x2 |
由导数的定义即：
f'（0）=0
因此：f（x）在x=0处可导，因此必连续．
故选：C
点评：本题主要考察函数的可导性以及函数的连续性，属于中档题．
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