题目内容
已知函数y=
，给出下列四个命题：
①函数的图象关于点（1，1）对称；
②函数的图象关于直线y=x对称；
③函数在定义域内单调递减；
④将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y=
的图象重合．
其中正确命题的个数是（ ）
| x |
| x-1 |
①函数的图象关于点（1，1）对称；
②函数的图象关于直线y=x对称；
③函数在定义域内单调递减；
④将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y=
| 1 |
| x |
其中正确命题的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：函数的图象
专题：函数的性质及应用
分析：将函数进行化简得到y=1+
，利用与函数y=
的图象关系，进行分别判断．
| 1 |
| x-1 |
| 1 |
| x |
解答：
解：y=
=1+
，
（1）因为函数y=
的对称中心是（0，0），所以函数y=
的对称中心是（1，1），所以正确．
（2）设函数图象的任意一点为（x，y），则点关于直线y=x对称的点的坐标为（y，x），则点（y，x）满足函数y=
，所以（2）正确．
（3）因为函数的定义域为{x|x≠1}，所以函数在定义域内不单调，所以（3）错误．
（4）将函数y=
=1+
图象向左平移一个单位，然后再向下平移一个单位后，得到，所以（4）正确．
故其中正确命题的个数是3个，
故选：C．
| x |
| x-1 |
| 1 |
| x-1 |
（1）因为函数y=
| 1 |
| x |
| x |
| x-1 |
（2）设函数图象的任意一点为（x，y），则点关于直线y=x对称的点的坐标为（y，x），则点（y，x）满足函数y=
| x |
| x-1 |
（3）因为函数的定义域为{x|x≠1}，所以函数在定义域内不单调，所以（3）错误．
（4）将函数y=
| x |
| x-1 |
| 1 |
| x-1 |
故其中正确命题的个数是3个，
故选：C．
点评：本题主要考查分式函数的图象和性质，要求熟练掌握分式函数的变化技巧，分子常数化是解决分式函数最常用的方法．
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