Question

已知a，b是不相等的正常数，实数x，y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求证：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，并指出等号成立的条件；
（Ⅱ）求函数f(x)=

2

x

+

1

1-2x

，x∈(0，

1

2

)的最小值，并指出此时x的值．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）应用均值不等式，得：(

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+

ya2

x

+

xb2

y

≥a2+b2+2

ya2 x + xb2 y

=a²+b²+2ab=（a+b）²，即可得出结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

22

2x

+

12

1-2x

≥

(2+1)2

2x+(1-2x)

=9，从而可求函数的最小值．

解答： （Ⅰ）证明：因为a，b是不相等的正常数，实数x，y∈（0，+∞），
所以应用均值不等式，得：(

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+

ya2

x

+

xb2

y

≥a2+b2+2

ya2 x + xb2 y

=a²+b²+2ab=（a+b）²，即有

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，…（5分）
当且仅当

ya2

x

=

xb2

y

，即

a

x

=

b

y

时上式取等号；   …（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f(x)=

22

2x

+

12

1-2x

≥

(2+1)2

2x+(1-2x)

=9，…（10分）
当且仅当

2

2x

=

1

1-2x

，即x=

1

3

时上式取最小值，即f（x）_min=9．           …（12分）

点评：本题考查运用均值不等式证明不等式与求函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确证明不等式是关键．