Question

11．一个几何体的正视图、侧视图和俯视图如图所示，若这个几何体的外接球的表面积为100π，则该几何体的体积为（　　）

• A． $36\sqrt{3}$
• B． $\frac{98}{3}$
• C． $\frac{116}{3}$
• D． $\frac{128}{3}$

Answer 1

分析 几何体是三棱锥，根据三视图知几何体的后侧面与底面垂直，高为2m，结合直观图判定外接球的球心在后侧面的高SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算

解答 解：由三视图知：几何体是三棱锥，如图，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为2m，

其中OA=OB=OC=m，SO⊥平面ABC，
其外接球的球心在SO上，因为这个几何体的外接球的表面积为100π=4π×R²，解得R=5=SM，
设球心为M，OM=x，
则$\sqrt{{x}^{2}+{m}^{2}}$=5=2m-x，⇒m=4，x=3，
所以几何体S-ABC的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×8×4×8=\frac{128}{3}$；
故选D．

点评 本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．