Question

1．平面直角坐标系中，已知点A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A，P，N的圆的圆心坐标是（　　）

• A． （3，-$\frac{9}{8}$）
• B． （3，-$\frac{7}{8}$）
• C． （5，-$\frac{9}{8}$）
• D． （4，-$\frac{5}{8}$）

Answer 1

分析 根据题意可得PA+BN的最小值为EF，此时，1≤a≤3，且这3个点共线，故有ME、EF的斜率相等，求得a的值，可得A、P、N三点的坐标，则PN、PA的中垂线的交点坐标，即为所求．

解答 解：由于AB、PN的长度为定值，故只要PA+BN最小即可．
由于PA+BN=$\sqrt{{（a-1）}^{2}+9}$+$\sqrt{{（a-3）}^{2}+1}$，表示动点M（a，0）到E（1，3）、F（3，-1）的距离之和，
故PA+BN的最小值为EF，此时，1≤a≤3，且这3个点共线，故有ME、EF的斜率相等，
即$\frac{0-3}{a-1}$=$\frac{0+1}{a-3}$，a=$\frac{5}{2}$，此时，A（1，-2），P（$\frac{5}{2}$，1），N（$\frac{7}{2}$，1）．
此时，PN的中垂线方程为x=3，PA的中垂线方程为y+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{7}{4}$），
这两条中垂线的交点为（3，-$\frac{9}{8}$），
即为过三点A，P，N的圆的圆心坐标，
故选：A．

点评 本题主要考查两点间的距离公式，三点共线的性质、圆心的性质，属于中档题．