Question

19．已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，${S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）（n∈{N^*}）$，则a_n=（　　）

• A． ${（-\frac{1}{2}）^n}$
• B． $-\frac{1}{2^n}$
• C． $-{（-\frac{1}{2}）^n}$
• D． $-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$

Answer 1

分析 ${S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）（n∈{N^*}）$，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{3}（{a}_{1}-1）$，解得a₁．利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）（n∈{N^*}）$，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）$-$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-1）$，化为：a_n=-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{3}（{a}_{1}-1）$，解得a₁=$-\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为-$\frac{1}{2}$．
则a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．