Question

7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4accos²$\frac{A+C}{2}$=a²+c²-b²．
（Ⅰ）求B；
（II）若c=3，且AC边的中线BM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用降幂公式，诱导公式，三角形内角和定理，余弦定理化简已知可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（II）由已知及中线长定理可得：b²=2a²+5，由余弦定理可得：b²=a²+9-3a，从而可得：a²+3a-4=0，进而解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵4accos²$\frac{A+C}{2}$=a²+c²-b²．
∴4accos²$\frac{π-B}{2}$=4ac（$\frac{1-cosB}{2}$）=a²+c²-b²．可得：b²=a²+c²+2accosB-2ac，
∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴2accosB-2ac=-2accosB，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵c=3，AC边的中线BM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴由中线长定理可得：3²+a²=2[（$\frac{b}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{13}}{2}$）²]，
∴整理可得：b²=2a²+5，
又∵B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得：b²=a²+9-3a，
∴2a²+5=a²+9-3a，整理可得：a²+3a-4=0，解得：a=1或-4（舍去）．

点评 本题主要考查了降幂公式，诱导公式，三角形内角和定理，余弦定理，中线长定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．