Question

2．设m=$\frac{200{8}^{\frac{1}{n}}-200{8}^{-\frac{1}{n}}}{2}$（n∈N^*），则（$\sqrt{1+{m}^{2}}$-m）ⁿ的值为（　　）

• A． 2008^-1
• B． -2008^-1
• C． （-1）ⁿ2008
• D． （-1）ⁿ2008^-1

Answer 1

分析 设x=$200{8}^{\frac{1}{n}}$＞0，则m=$\frac{x-\frac{1}{x}}{2}$，化为：x²-2mx-1=0，解得x=m+$\sqrt{{m}^{2}+1}$．可得（$\sqrt{1+{m}^{2}}$-m）ⁿ=$（\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}+m}）^{n}$=$（\frac{1}{x}）^{n}$，即可得出．

解答 解：设x=$200{8}^{\frac{1}{n}}$＞0，则m=$\frac{x-\frac{1}{x}}{2}$，化为：x²-2mx-1=0，解得x=$\frac{2m±2\sqrt{{m}^{2}+1}}{2}$，依题意，x=m+$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴（$\sqrt{1+{m}^{2}}$-m）ⁿ=$（\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}+m}）^{n}$=$（\frac{1}{x}）^{n}$=$（\frac{1}{200{8}^{\frac{1}{n}}}）^{n}$=$\frac{1}{2008}$．
故选：A．

点评 本题考查了指数运算性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．