Question

2．当x∈（-∞，-1]时，不等式（m²-m）•4^x-2^x＜0恒成立，则实数m的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 由题意可得m²-m＜$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，-1]时恒成立，则只要m²-m＜$\frac{1}{{2}^{x}}$的最小值，然后解不等式可m的范围．

解答 解：∵（m²-m）4^x-2^x＜0在x∈（-∞，-1]时恒成立，
∴m²-m＜$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，-1]时恒成立，
由于f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈（-∞，-1]时单调递减，
∵x≤-1，
∴f（x）≥2，
∴m²-m＜2，
∴-1＜m＜2，
故答案为：（-1，2）．

点评 本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立?m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立?m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化．