Question

7．已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=f（x）成立，且f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）=（a+2）x-3在$（\frac{1}{2}，2）$内有解，求实数a的取值集合（记为集合A）；
（3）在（2）中的A中存在实数a使y=f（x）的图象与y=x+b的图象恒有两不同的交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=0，得到f（0）=-2，求出函数的表达式即可；
（2）得到x²-x+1=ax有解，分离a，得到a=x+$\frac{1}{x}$-1，令F（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，x∈$（\frac{1}{2}，2）$，根据函数的单调性求出即可；
（3）根据二次函数的性质得到9a²-2a+1+4ab＞0，问题转化为?a∈[1，$\frac{3}{2}$），使得-4b＜9a+$\frac{1}{a}$-2成立，根据基本不等式的性质求出即可．

解答 解：（1）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），
又令x=1，则f（1）-f（0）=2，
∵f（1）=0，∴f（0）=-2，
∴f（x）=x²+x-2；
（2）∵f（x）=x²+x-2=（a+2）x-3，
∴x²-x+1=ax，
∵x∈$（\frac{1}{2}，2）$，∴a=x+$\frac{1}{x}$-1，
令F（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，x∈$（\frac{1}{2}，2）$，
x∈（$\frac{1}{2}$，1]时，F（x）单调递减；x∈[1，2）时，F（x）单调递增，
又$F（\frac{1}{2}）=F（2）=\frac{3}{2}，F（1）=1$，
∴$F（x）∈[1，\frac{3}{2}）$．∴$A=\left\{{a|1≤a＜\frac{3}{2}}\right\}$；
（3）由a（x²+x-2）=x+b，得ax²+（a-1）x-2a-b=0有两不等实根，
依题意有△=（a-1）²+4a（2a+b）＞0，
∴9a²-2a+1+4ab＞0，
∴?a∈[1，$\frac{3}{2}$），使得-4b＜9a+$\frac{1}{a}$-2成立，
令h（a）=9a+$\frac{1}{a}$-2，h′（a）=9-$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\frac{（3a-1）（3a+1）}{{a}^{2}}$，
∵a∈[1，$\frac{3}{2}$）时，3a-1＞0，3a+1＞0，
故h′（a）＞0，h（a）在[1，$\frac{3}{2}$）递增，
即h（a）=9a+$\frac{1}{a}$-2单调递增，
且a=$\frac{3}{2}$时，9a+$\frac{1}{a}$-2=$\frac{73}{6}$，
∴-4b＜$\frac{73}{6}$，
∴b＞-$\frac{73}{24}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数的单调性问题，考查函数恒成立问题有解基本不等式的性质，是一道中档题．