题目内容
已知函数f（x）满足f（x）=2f（
），当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx，若在区间（0，e2）内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
| 1 |
| x |
考点：抽象函数及其应用,根的存在性及根的个数判断
专题：计算题,作图题,导数的综合应用
分析：由题意可得f（x）=
；从而在区间（0，e2）内，a=
=
；结合函数图象求解．
|
| f(x) |
| x |
|
解答：
解：由题意，当0＜x＜1时，
f（x）=2f（
）=2ln
=-2lnx，
故f（x）=
；
在区间（0，e2）内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有3个不同的交点，
即在区间（0，e2）内，f（x）-ax=0有3个不同的解，
即在区间（0，e2）内，
a=
=
；
作函数y=
的图象如下，
结合图象可得，当x∈（1，e2）时，
令y′=
=0得，
x=e；
故y（e）=
；y（e2）=
；
故实数a的取值范围是（
，
）．
故答案为：（
，
）．
f（x）=2f（
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
故f（x）=
|
在区间（0，e2）内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有3个不同的交点，
即在区间（0，e2）内，f（x）-ax=0有3个不同的解，
即在区间（0，e2）内，
a=
| f(x) |
| x |
|
作函数y=
| f(x) |
| x |
结合图象可得，当x∈（1，e2）时，
令y′=
| 1-lnx |
| x2 |
x=e；
故y（e）=
| 1 |
| e |
| 2 |
| e2 |
故实数a的取值范围是（
| 2 |
| e2 |
| 1 |
| e |
故答案为：（
| 2 |
| e2 |
| 1 |
| e |
点评：本题考查了导数的应用及学生作图的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A、（-∞，-2]∪（-1，+∞） |
| B、[2，+∞） |
| C、（-∞，-2]∪[2，+∞） |
| D、[-2，2] |