Question

设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．过B₁作直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得c=2b，S△AB1B2=b2=4，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）B₁（-2，0），B₂（2，0），设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，得（m²+5）y²-4my-16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦点为F₂（c，0）．
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，得c=2b，
在Rt△AB₁B₂中，S△AB1B2=b2=4，从而a²=b²+c²=20，
因此所求椭圆的标准方程为：

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）由（1）知B₁（-2，0），B₂（2，0），
由题意，直线PQ的倾斜角不为0，
设直线PQ的方程为x=my-2代入椭圆方程，
消元可得（m²+5）y²-4my-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

B2P

•

B2Q

=0，
∴y1+y2=

4m

m2+5

，y1•y2=-

16

m2+5

，
又

B2P

=(x1-2，y1)，

B2Q

=(x2-2，y2)，
∴

B2P

•

B2Q

=(x1-2)(x2-2)+y1y2，
=-

16m2-64

m2+5

=0，
解得m=±2，
∴满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．