过点M作抛物线x2=2py的两条切线.切点分别为A.B.若线段AB中点的纵坐标为6.则抛物线的方程为( )A．x2=2yB．x2=4yC．x2=2y或x2=4yD．x2=3y或x2=2y 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．过点M（2，-2p）作抛物线x²=2py（p＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为（　　）

A．

x²=2y

B．

x²=4y

C．

x²=2y或x²=4y

D．

x²=3y或x²=2y

分析设过点M的抛物线的切线方程与抛物线的方程联立，利用方程的判别式等于0，再利用韦达定理，结合线段AB中点的纵坐标为6，可求抛物线的方程．

解答解：设过点M的抛物线的切线方程为：y+2p=k（x-2）与抛物线的方程联立消y得：x²-2pkx+4pk+4p²=0
此方程的判别式等于0，∴pk²-4k-4p=0
设切线的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=$\frac{4}{p}$，
此时x=pk，∴y=$\frac{{x}^{2}}{2p}$=2（k+p），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则12=y₁+y₂=2（k₁+k₂）+4p=$\frac{8}{p}$+4p，
∴p²-3p+2=0，
∴p=1或p=2，
∴所求抛物线的方程为x²=2y或x²=4y，
故选C．

点评本题考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，考查中点坐标公式，属于中档题．

练习册系列答案

3．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，若|FA|=|FB|，则椭圆C的离心率为（　　）

20．已知0≤φ＜π，函数$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（2x+φ）+{sin^2}x$．
（Ⅰ）若$φ=\frac{π}{6}$，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，求φ的值．

7．$（{\begin{array}{l}1&2\\ 3&{-1}\end{array}}）（{\begin{array}{l}4\\ 2\end{array}}）$=$（\begin{array}{l}{8}\\{10}\end{array}）$．

17．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA₁=12，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B₁C；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

4．抛物线y²=-8x中，以（-1，1）为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0．

1．若直线ax+by+1=0（a、b＞1）过圆x²+y²+8x+2y+1=0的圆心，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

2．三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）•r，（a，b，c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为（　　）

	A．	V=$\frac{1}{3}$abc（a，b，c，为底面边长）
	B．	V=$\frac{1}{3}$Sh（S为底面面积，h为四面体的高）
	C．	V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r（S₁，S₂，S₃，S₄分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径）
	D．	V=$\frac{1}{3}$（ab+bc+ac）h（a，b，c为底面边长，h为四面体的高）

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