Question

20．已知0≤φ＜π，函数$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（2x+φ）+{sin^2}x$．
（Ⅰ）若$φ=\frac{π}{6}$，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是$\frac{3}{2}$，求φ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．
（Ⅱ）利用函数f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，通过求解方程求解即可．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意$f（x）=\frac{1}{4}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2x+\frac{1}{2}$…（3分）
=$\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{3}）+\frac{1}{2}$…（5分）
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$，得$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}$．
所以单调f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{2π}{3}，kπ-\frac{π}{6}]$，k∈Z．…（8分）
（Ⅱ）由题意$f（x）=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosφ-\frac{1}{2}）cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinφsin2x+\frac{1}{2}$，…（10分）
由于函数f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，即${（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosφ-\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinφ）^2}=1$，…（12分）
从而cosφ=0，又0≤φ＜π，故$φ=\frac{π}{2}$．                         …（14分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力．