Question

已知函数f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1且f（a）=f（b），则ab+a+b的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：将f（x）写成：f（x）=

x2+2x-1 x≤-1- 2 ，或x≥-1+ 2 -x2-2x+1 -1- 2 ＜x＜-1+ 2

，所以图象应为两段二次函数图象，画出f（x）图象，即可由图象求得f（a）=a²+2a-1，f（b）=-b²-2b+1，所以由f（a）=f（b）可求出a+b=

-a2-b2

2

+1，所以ab+a+b=-

(a-b)2

2

+1，而由图象可看出0＜b-a＜2，这样即可求出-

(a-b)2

2

+1的范围，即求出ab+a+b的范围．

解答： 解：f（x）=|x²+2x-1|=

x2+2x-1 x≤-1- 2 ，或x≥-1+ 2 -x2-2x+1 -1- 2 ＜x＜-1+ 2

，该函数的图象如下所示：
根据图形可知f（a）=a²+2a-1，f（b）=-b²-2b+1，∴a²+2a-1=-b²-2b+1，∴a+b=

-a2-b2

2

+1；
∴ab+a+b=ab+

-a2-b2

2

+1=-

(a-b)2

2

+1；
x=-1时，f（x）=2，令x²+2x-1=2得x=-3，或1，∴由图可得0＜b-a＜2；
∴0＜(a-b)2＜4，-1＜-

(a-b)2

2

+1＜1；
∴ab+a+b的取值范围是（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．

点评：考查处理含绝对值函数的方法，及画分段函数图象，二次函数图象，以及数形结合解决问题．