Question

已知函数f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；
（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据 f（x）=|x-3|+|x-2|≥3-k，利用绝对值三角不等式求出左侧最小值，从而求得不等式f（x）≥3成立的k的取值范围．
（2）由|x-3|+|x-2|＜3x-1，通过去掉绝对值符号，解答不等式求出解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-3|+|x-2|+k，f（x）≥3恒成立，即（|x-3|+|x-2|）_min≥3-k，
|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1，
∴（|x-3|+|x-2|）_min=1，可得1≥3-k，解得k≥2，
使得不等式f（x）≥3恒成立的k的取值范围是[2，+∞）．
（2）当x≤2时，不等式化为：5x＞6，解得x＞

6

5

，可得

6

5

＜x≤2．
当2＜x＜3时，不等式化为：3x＞2，解得x＞

2

3

，可得2＜x＜3．
当x≥3时，不等式化为：x＞-4，解得x≥3．
综上不等式的解集为：（

6

5

，+∞）

点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．