Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．
（1）求证：AF∥平面CBD；
（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）取DE的中点G，连结FG，AG，CG，由已知条件推导出FG∥CD，AG∥BC，从而得到平面AFG∥平面CBD，由此能证明AF∥平面CBD．
（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面CBD与面DAE所面角的余弦值．

解答： （1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，
∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，
∴翻折后AD=AE=2CF，
∴CF

∥

.

DG，CG

∥

.

AB，
∴FG∥CD，AG∥BC，
∴平面AFG∥平面CBD，
∴AF∥平面CBD．
（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意知A（-1，0，0），D（0，0，

3

），
B（-1，-2，0），E（1，0，0），
∴DE的中点坐标为（

1

2

，0，

3

2

），
∵

CF

=

1

2

DE

，∴C（

1

2

，-2，

3

2

），
∵

BA

是平面ADE的一个法向量，即

BA

=

n

=(0，2，0)，
设平面BCD的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

BC

=(

3

2

，0，

3

2

)，

BD

=(1，2，

3

)，
∴

m • BC = 3 2 x+ 3 2 z=0 m • BD =x+2y+ 3 z=0

，
令x=2，则y=2，z=-2

3

，∴

m

=(2，2，-2

3

)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

4

2× 20

=

5

5

，
∴面CBD与面DAE所面角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．