Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的一个焦点为（

3

，0）．
（1）求a的值．
（2）直线l经过点P（

1

2

，

1

2

），且与椭圆C交于A、B两点，若点P恰为线段AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的一个焦点为（

3

，0），可得a²-1=3，即可求出a；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，利用点差法求出直线的向量，可求直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞0）的一个焦点为（

3

，0），
∴a²-1=3，
∴a=2；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，y₁+y₂=1；
由（1）知，x₁²+4y₁²=4，①x₂²+4y₂²=4，②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
∴（x₁-x₂）+4（y₂-y₁）=0，
由题意知，直线l的斜率存在，k=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∴直线l的方程为y-

1

2

=-

1

4

（x-

1

2

），即2x+8y-5=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查点差法求直线方程，正确运用点差法是关键．