Question

三棱锥P-DEF中，顶点P在平面DEF上的射影为O．
（1）如果PE=PF=PD，证明O是三角形DEF的外心（外接圆的圆心）
（2）如果PE=PF=1，PD=2，EF=

2

，DE=DF=

5

，证明：O是三角形DEF的垂心（三条高的交点）

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接OD、OE、OF，由PD=PE=PF可得：Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，进而得到：OD=OE=OF，即O是三角形DEF的外心（外接圆的圆心）
（2）如果PE=PF=1，PD=2，EF=

2

，DE=DF=

5

，由勾股定理可得：△PEF、PDF、PED都是直角三角形，由线面垂直的判定定理和性质定理，可证得DF⊥EO，EF⊥DO，DE⊥FO，即O是三角形DEF的垂心（三条高的交点）．

解答： 证明：（1）过P作PO垂直于平面DEF，O为垂足，
连接OD、OE、OF，
∵PD=PE=PF
∴Rt△PDO≌Rt△PEO≌Rt△PFO，
∴OD=OE=OF，
故O为三角形DEF的外心．（4分）
（2）过P作PO垂直于平面DEF，O为垂足，
∵PE=PF=1，EF=

2

，DE=DF=

5

，PD=2，
∴△PEF、PDF、PED都是直角三角形．…（1分）

PE⊥PF PE⊥PD PF∩PD=P

⇒PE⊥平面PDF…（3分）
⇒

PE⊥平面PDF DF?平面PDF

⇒PE⊥DF…（1分）
又

PO⊥平面DEF DF?平面DEF

⇒PO⊥DF，
∵PE∩PO=P，PE，PO?平面PEO，
∴DF⊥平面PEO，
又∵EO?平面PEO，
∴DF⊥EO，
同理可得：EF⊥DO，DE⊥FO，
即O是三角形DEF的垂心．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，勾股定理，三角形的四心，难度不大，属于基础题．