Question

（1）已知函数y=f（x）的定义域为R，且当x∈R时，f（2+x）=f（2-x）恒成立，求证y=f（x）的图象关于直线x=2对称
（2）若函数y=log₂|ax+1|的图象的对称轴是x=2，求非零实数a的值．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）设P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，则y₀=f（x₀），又P点关于x=2的对称点为Q（4-x₀，y₀），证明点Q在函数y=f（x）图象上；
（2）由题意，|a（2-x）+1|=|a（2+x）+1|恒成立，即|-ax+（2a+1）|=|xa+（2a+1）|恒成立，从而得2a+1=0．

解答： 解：（1）证明：设P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，则y₀=f（x₀），
又P点关于x=2的对称点为Q（4-x₀，y₀），
由已知f（2+x）=f（2-x）可得，
f（4-x₀）=f（2+（2-x₀））=f（2-（2-x₀））=f（x₀）=y₀，
即Q在函数y=f（x）图象上，
则y=f（x）的图象关于直线x=2对称．
（2）∵对定义域同的任意x，有f（2-x）=f（2+x）恒成立，
∴|a（2-x）+1|=|a（2+x）+1|恒成立，
即|-ax+（2a+1）|=|xa+（2a+1）|恒成立，
又∵a≠0，
∴2a+1=0，
∴a=-

1

2

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点评：本题考查了函数图象对称性的证明与应用，属于基础题．