Question

（1）数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用分析法证明：若a＞0，则

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,归纳推理

专题：综合题,分析法

分析：（1）利用S_n=2n-a_n（n∈N^*），代入计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（2）用分析法证明，寻找使不等式

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止．

解答： （1）解  当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=

3

2

．
当n=3时，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=

7

4

．
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄，∴a₄=

15

8

．
由此猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*）．
（2）证明：要证

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只需证

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
只需证a²+

1

a2

+4+4

a2+ 1 a2

≥a²+

1

a2

+2+2

2

（a+

1

a

），
只需证

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），只需证a²+

1

a2

≥

1

2

（a²+

1

a2

+2），
即证a²+

1

a2

≥2，它显然是成立，∴原不等式成立．

点评：利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．