Question

已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，且满足f（2）=3
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值；
（3）设函数g（x）=f（x）-mx，若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）满足f（2）=6k+9=3，求得 k=-1，从而得到 f（x）的解析式．
（2）根据f（x）=-（x-1）²+4，x∈[-1，4]，利用二次函数的性质求得函数f（x）在[-1，4]上的最大值和最小值．
（3）根据函数g（x）=-x²+（2-m）x+3 的图象的对称轴方程为x=1-

m

2

，g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，可得1-

m

2

≥2，或1-

m

2

≤-2，由此求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数，且满足f（2）=6k+9=3，可得 k=-1，
∴f（x）=-x²+2x+3．
（2）∵f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈[-1，4]，∴当x=1时，函数取得最大值为4；
当x=4时，函数取得最小值为-5．
（3）由于函数g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3 的图象的对称轴方程为x=1-

m

2

，
若g（x）在区间[-2，2]上是单调函数，则1-

m

2

≥2，或1-

m

2

≤-2，
求得m≤-2，或m≥6，即实数m的取值范围为{m|m≤-2，或m≥6}．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．