Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x²+y²=b²的一条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（1）若直线l的倾斜角为$\frac{π}{6}$，求e的大小；
（2）是否存在这样的e，使得原点O关于直线l对称的点恰好在椭圆C上，若存在，请求出e的大小；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此c≥b．即c²≥b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）依题意，设直线l：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-c}）$，由l与圆x²+y²=b²相切得$\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}|}}{{\sqrt{1+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）}^2}}}}=b$，化简即可得出．
（3）设原点关于直线l对称的点为M（x，y），则M到原点的距离为2b，M到焦点F（c，0）的距离为c．由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={{（{2b}）}^2}}\\{{{（{x-c}）}^2}+{y^2}={c^2}}\end{array}}\right.$，解出代入椭圆方程解出离心率，比较即可判断出结论．

解答 解：（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此c≥b．
∴c²≥b²=a²-c²，也即$\frac{c^2}{a^2}≥\frac{1}{2}$，解之可得$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤e＜1$．
∴椭圆的离心率e的取值范围是$[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$．
（2）依题意，设直线l：$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（{x-c}）$，由l与圆x²+y²=b²相切得$\frac{{|{\frac{{\sqrt{3}}}{3}c}|}}{{\sqrt{1+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）}^2}}}}=b$，即c²=4b²，
∴c²=4（a²-c²），解得$e=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（3）设原点关于直线l对称的点为M（x，y），则M到原点的距离为2b，M到焦点F（c，0）的距离为c．
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}={{（{2b}）}^2}}\\{{{（{x-c}）}^2}+{y^2}={c^2}}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{x={{\frac{2b}{c}}^2}}\\{{y^2}=\frac{{4{b^2}{c^2}-4{b^4}}}{c^2}}\end{array}}\right.$，代入椭圆方程可得4b²=3a²，易得$e=\frac{1}{2}$
这与$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤e＜1$矛盾，故离心率不存在．

点评 本题考查了椭圆底边在方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．