Question

17．已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx-1与圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；
（Ⅱ）若DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形，因为r=2，则圆心D到直线y=kx-1的距离$d=\sqrt{2}$，即可求k的值．

解答 解：（Ⅰ）因为圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，
所以圆C的半径r=2．
则所求圆C的方程为（x-2）²+（y-3）²=4． …（5分）
（Ⅱ）因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．
因为r=2，则圆心D到直线y=kx-1的距离$d=\sqrt{2}$．
则$\frac{|2k-3-1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得k=1或k=7． …（9分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．