Question

18．如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在的平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1．
（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：DE⊥平面ABE；
（3）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出AB∥CD，由此能证明AB∥平面CDE．
（2）推导出AE⊥CD，DE⊥AE，从而CD⊥DE，再由DE⊥AB，能证明DE⊥平面ABE．
（3）由AB⊥平面ADE，能求出三棱锥B-ADE的体积．再由V_A-BDE=V_B-ADE，能求出点A到平面BDE的距离．

解答 证明：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
AB?平面CDE，CD?平面CDE，
∴AB∥平面CDE．
（2）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AE⊥CD，DE⊥AE，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADE．
∵DE?平面ADE，∴CD⊥DE，
∵AB∥CD，∴DE⊥AB，
∵AB∩AE=E，∴DE⊥平面ABE．
解：（3）∵AB⊥AD，AB⊥DE，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADE，
∴三棱锥B-ADE的体积V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}×AB$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{4-1}×1）×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}×DE×BE$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4-1}×\sqrt{4+1}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设点A到平面BDE的距离为d，
∵V_A-BDE=V_B-ADE，∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}d$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点A到平面BDE的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．