Question

已知向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），其中x∈[

π

2

，π]．
（1）若|

a

-

b

|=2，求x的值；
（2）设函数f（x）=

a

•

b

，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（1）由向量的平方即为模的平方，结合两角差的正弦公式，即可得到x；
（2）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角公式、两角差的正弦公式，再由正弦函数的值域即可得到所求的最值．

解答： 解：（1）因为向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），
所以

a

-

b

=（

3

sinx-cosx，0），
即|

a

-

b

|²=（

3

sinx-cosx）²=4，
所以

3

sinx-cosx=±2，
即sin(x-

π

6

)=±1，
因为x∈[

π

2

，π]，所以x=

2π

3

；
（2）因为f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
由于x∈[

π

2

，π]，
则2x-

π

6

∈[

5π

6

，

11π

6

]，
所以当2x-

π

6

=

5π

6

即x=

π

2

时，[f（x）]_max=1，
当2x-

π

6

=

3π

2

即x=

5π

6

时，[f(x)]min=-

1

2

．
所以f（x）的值域为[-

1

2

，1]．

点评：本题考查平面向量的运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，以及正弦函数的值域，属于中档题．