Question

已知f（x）是R上的偶函数，且最小正周期为2π，当0≤x≤π时，f（x）=

x

-cos x，则函数y=f（x）的图象在区间[-2π，2π]上与x轴的交点的个数为（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考点：函数的周期性,余弦函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先求出当0≤x≤π时，f（x）=

x

-cos x，零点个数1，再利用对称性，周期性，求出，[-π，0]．[π，2π]，[0，2π]，的个数，即得出[-2π，2π]上个数．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，
∵当0≤x≤π时，f（x）=

x

-cos x，
∴当x∈[0，π]，时，f（x）=

x

-cos x，单调递增，
又∵f（0）=-1，f（π）=

π

+1＞0，
∴f（x）在[0，π]上，有1个零点，
∴根据对称性，[-π，0]上，有1个零点，
∵最小正周期为2π，
∴可知[π，2π]上1个零点，
总起来说，[0，2π]上有2个零点，
即[-2π，2π]上有4个零点，
函数y=f（x）的图象在区间[-2π，2π]上与x轴的交点的个数为4个
故选：B

点评：本题考查了函数的性质在求零点的个数的应用，属于中档题．