题目内容
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=4，AE=2，求CD．
考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定
专题：选作题,立体几何
分析：（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，证明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．
（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．
解答：
（1）证明：连结OA，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，
又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以OA∥CE．
因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．
所以AE是⊙O的切线．…（5分）
（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，
所以
=
，即
=
，则BD=2AD，
所以∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，
所以DE=AEtan30°=
．
由切割线定理，得AE2=ED•EC，
所以4=
（
+CD），所以CD=
．…（10分）
（1）证明：连结OA，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以OA∥CE．
因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．
所以AE是⊙O的切线．…（5分）
（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，
所以
| AE |
| AD |
| AB |
| BD |
| 2 |
| AD |
| 4 |
| BD |
所以∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，
所以DE=AEtan30°=
2
| ||
| 3 |
由切割线定理，得AE2=ED•EC，
所以4=
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
练习册系列答案
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已知{an}为等差数列，若a2+a3+a7=12，则S7=（ ）
| A、24 | B、28 | C、15 | D、54 |
如图：港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31n mile，该轮船从B处沿正西方向航行20n mile后到D处，测得CD为21n mile．