Question

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为：V_（t）=

(-t2+14t-40)e 1 4 t+50(0＜t≤10) 4(t-10)(3t-41)+50(10＜t≤12)

．
（1）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以t表示第t月份（t=1，2，3，…，12），问：同一年内哪些月份是枯水期？
（2）求一年内哪个月份该水库的蓄水量最大，并求最大蓄水量．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整．
（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值．

解答： 解：（1）当0＜t≤10时，V(t)=(-t2+14t-40)e

1

4

t+50＜50，化简得t²-14t+40＞0，
∴t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．----------------------------------------------------2分
当10＜t≤12时，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，化简得（t-10）（3t-41）＜0
∴10＜t＜

41

3

，又10＜t≤12，故10＜t≤12------------------------------------------------4分
综上得，0＜t＜4或10＜t≤12-------------------------------------------------------------5分
故知枯水期为1月、2月、3月、11月、12月共5个月．---------------------------7分
（2）由（1）可知V（t）的最大值只能在[4，10]内达到．--------------------------------8分
由V′(t)=e

t

4

(-

1

4

t2+

3t

2

+4)=-

1

4

e

t

4

(t+2)(t-8)------------------------------------9分
令V'（t）=0得t=8或t=-2（舍去）------------------------------------------------------10分
当t变化时，V'（t）与V（t）的变化情况如下表

t	[4，8）	8	（8，10]
V'（t）	+	0	-
V（t）	↑	8e2+50	↓

------12分
由上表可知，V（t）在t=8时取得最大值8e²+50（亿立方米）．------------------13分
故知一年内该水库的最大蓄水量是8e²+50亿立方米．--------------------------------14分．

点评：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力．