Question

3．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+3|，g（x）=f（x）-|2x+3|-|x+1|．
（Ⅰ）若对任意的实数x，关于x的不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在x＜-1，使g（x）≤g（m）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的意义求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的最小值，问题转化为解不等式|2m-1|-|m+1|≥3即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4，
若对任意的实数x，关于x的不等式f（x）≥a恒成立，
∴a≤4；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-|2x+3|-|x+1|=|2x-1|-|x+1|，
x＜-1时：g（x）=-（2x-1）+（x+1）=-x+2，
在x∈（-∞，-1）上，g（x）＞3，
故若存在x＜-1，使g（x）≤g（m）成立，
只需g（m）≥3即可，
转化为解不等式|2m-1|-|m+1|≥3，
不等式可化为：$\left\{\begin{array}{l}{m≤-1}\\{-m+2≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜\frac{1}{2}}\\{-3m≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{2}}\\{m-2≥3}\end{array}\right.$，
解得：m≤-1或m≥5．

点评 本题考察了函数恒成立问题，考察解绝对值不等式问题，考察分类讨论思想，是一道中档题．