Question

11．已知棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，长为2的线段MN的一端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，动点E在线段CD₁上，则MN中点P到线段AE距离的最小值为$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，再求出D到平面ACD₁的距离，即可求出MN中点P到线段AE距离的最小值．

解答 解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
∴MN的中点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的$\frac{1}{8}$的球面．
设D到平面ACD₁的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{2}）^{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3$，
∴h=$\sqrt{3}$，
∴MN中点P到线段AE距离的最小值为$\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题主要考查点的轨迹方程的判断，考查MN中点P到线段AE距离的最小值，综合性较强．