Question

已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=

1

5

．
（1）求tanα的值；　　　
（2）求

sin(π-α)+4sin( 3π 2 +α)

5cos( π 2 -α)+2cos(2π-α)

值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinαcosα=-

12

25

＜0，tanα＜-1．再根据sin2α=-

24

25

=

2tanα

tan2α+1

，求得 tanα 的值．
（2）利用诱导公式吧要求的式子化为

sinα-4cosα

5sinα+2cosα

，即

tanα-4

5tanα+2

，从而得到结果．

解答： 解：（1）∵已知α是三角形的内角，且sin α+cos α=

1

5

，∴平方可得1+2sinαcosα=

1

25

，
∴sinαcosα=-

12

25

＜0，∴sinα＞，cosα＜0，且|sinα|＞|cosα|，∴tanα＜-1．
再根据sin2α=-

24

25

=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

，求得 tanα=-

4

3

，或tanα=-

3

4

（舍去）．
（2）

sin(π-α)+4sin( 3π 2 +α)

5cos( π 2 -α)+2cos(2π-α)

=

sinα-4cosα

5sinα+2cosα

=

tanα-4

5tanα+2

=

- 4 3 -4

5×(- 4 3 )+2

=

8

7

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．