Question

设p：f（x）=3x²+4x+m≥0对任意x恒成立，q：m≥

8x

x2+4

对任意x＞0恒成立，则p是q的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题可先对命题p、q进行化简，然后比较参数m的取值范围，得到命题p、q之间的关系，即本题结论．

解答： 解：∵命题p：f（x）=3x²+4x+m≥0对任意x恒成立，
∴对应方程根的判别式△≤0，
即4²-4×3×m≤0，
∴m≥

4

3

．
∵命题q：m≥

8x

x2+4

对任意x＞0恒成立，
∴记g（x）=

8x

x2+4

，m≥[g（x）]_max．
∵g（x）=

8x

x2+4

=

8

x+ 4 x

≤

8

2 x• 4 x

=2．
∴m≥2．
∴q⇒p．反之不成立．
∴命题p是q必要不充分条件．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象、基本不等式、充要条件等知识，有一定的综合性，属于中档题．