Question

6．已知F₁、F₂是椭圆C₁与双曲线C₂的公共焦点，点P是C₁与C₂的公共点，若椭圆C₁的离心率e₁∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，则双曲线C₂的离心率e₂的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设椭圆及双曲线方程，利用定义求得丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，利用勾股定理及椭圆、双曲线的离心率公式，求得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，利用椭圆的离心率范围，即可求得e₂的最小值．

解答 解：设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），
双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0），
设P位于第一象限，半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a₁，
丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a₂，
解得丨PF₁丨=a₁+a₂，丨PF₂丨=a₁-a₂，
由∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$，则丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=丨F₁F₂丨²，
∴（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²=（2c）²，即a₁²+a₂²=2c²，
即有$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}$=2，
即为$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2，
由e₁∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
可得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$∈[$\frac{4}{3}$，2），
则$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$∈（0，$\frac{2}{3}$]．
则e₂≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即有双曲线C₂的离心率e₂的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆及双曲线的定义及简单几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题．