Question

4．如图所示的几何体是由棱台ABC-A₁B₁C₁和棱锥D-AA₁C₁C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB₁⊥平面ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．（${V_{棱台}}=\frac{1}{3}h（{{S_上}+{S_下}+\sqrt{{S_上}{S_下}}}）$）
（Ⅰ）求证：平面AB₁C⊥平面BB₁D；
（Ⅱ）求该组合体的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需证明BB₁⊥AC，BD⊥AC，即可得AC⊥平面BB₁D，平面AB₁C⊥平面BB₁D…（4分）
（Ⅱ）求出${V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×（\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}}）$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$，${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}$，即可得组合体体积为$V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}$

解答 解：（Ⅰ）∵BB₁⊥平面ABCD∴BB₁⊥AC
在菱形ABCD中，BD⊥AC
又BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D…（2分）
∵AC?平面AB₁C，∴平面AB₁C⊥平面BB₁D…（4分）
（Ⅱ）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×2×sin120°=\sqrt{3}$，则${S_{△{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（6分）
∴${V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}×2×（\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\sqrt{3}+\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}}）$=$\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$…（8分）
${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{3}{2}{V_{{A_1}-ACD}}$，
由${V_{{A_1}-ACD}}=\frac{1}{3}×{S_{△ACD}}×2=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$知，${V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\sqrt{3}$…（10分）
故组合体体积为$V={V_{{A_1}{B_1}{C_1}-ABC}}+{V_{D-{A_1}AC{C_1}}}=\frac{{13\sqrt{3}}}{6}$…（12分）

点评 本题考查了面面垂直的判定，组合体的体积计算，属于中档题．