Question

3．如图，在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，点D在边AB上，BD=2，且DA=DC，AC=2$\sqrt{2}$，则∠DCA=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$或$\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 设∠DCA=θ，DC=x，根据余弦定理和正弦定理可得cos2θ（2sin2θ-1）=0，再解得即可

解答 解：设∠DCA=θ，DC=x，
在△BDC中，由余弦定理可得AC²=x²+x²-2x²cos（2π-2θ），
即4=x²（1+cos2θ），
∴x²=$\frac{4}{1+cos2θ}$
在△BCD中，∠DCB=π-B-∠BDC=$\frac{3π}{4}$-2θ，
由正弦定理可得$\frac{BD}{sin∠BDC}$=$\frac{CD}{sinB}$，
即x=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin（\frac{3π}{4}-2θ）}$=$\frac{2}{cos2θ+sin2θ}$，
∴x²=$\frac{4}{1+2sin2θcos2θ}$，
∴$\frac{4}{1+cos2θ}$=$\frac{4}{1+2sin2θcos2θ}$，
∴1+cos2θ=1+2sin2θcos2θ，
∴cos2θ（2sin2θ-1）=0，
∴cos2θ=0或2sin2θ-1=0，
解得2θ=$\frac{π}{2}$或2θ=$\frac{π}{6}$或2θ=$\frac{5π}{6}$
∴θ=$\frac{π}{4}$或θ=$\frac{π}{12}$或θ=$\frac{5π}{12}$，
故答案为：$\frac{π}{12}$或$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{12}$

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简，考查了学生的运算能力，属于中档题