Question

20．某高中学校为了解学生体质情况，从高一和高二两个年级分别随机抽取了40名男同学进行“引体向上”项目测试．样本的测试成绩均在0至30个之间，按照[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]的分组分别作出频率分布直方图．记样本中高一年级的“引体向上”成绩的方差为s₁²，高二年级的“引体向上”成绩的方差为s₂²．

（Ⅰ）已知该学校高二年级男同学有500人，估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数；
（Ⅱ）从样本中高一年级的成绩不小于20个男同学中随机抽取2人，求至少有1人成绩在[25，30]中的概率．
（Ⅲ）比较s₁²与s₂²的大小（只需写出结果）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的频率，由此能估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数．
（Ⅱ）记“从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中随机抽取2人，至少有1人成绩在[25，30]中”为事件M，样本中高一年级的成绩在[20，25）的人数为4人，记这4名同学为A₁，A₂，A₂，A₄，样本中高一年级的成绩在[25，30]的人数为2人，记这两名同学为B₁，B₂，由此利用列举法能求出至少有1人成绩在[25，30]中的概率．
（Ⅲ）由频率分布直方图能比较${{S}_{1}}^{2}$，${{S}_{2}}^{2}$的大小．

解答 解：（Ⅰ）因为样本中高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的频率为（0.08+0.04+0.01）×5=0.65，（2分）
所以估计该学校高二年级男同学引体向上成绩不少于10个的人数为：
500×0.65=325人．（4分）
（Ⅱ）记“从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中随机抽取2人，
至少有1人成绩在[25，30]中”为事件M，（5分）
样本中高一年级的成绩在[20，25）的人数为40×0.02×5=4人，
记这4名同学为A₁，A₂，A₂，A₄，
样本中高一年级的成绩在[25，30]的人数为40×0.01×5=2人，
记这两名同学为B₁，B₂，（6分）
则从样本中高一年级的成绩不小于20个的同学中，随机抽取2人，所有可能的结果有15种，分别为：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，A₄），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），（8分）
事件M包含的结果有9种，分别是：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），
所以至少有1人成绩在[25，30]中的概率P（M）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．（11分）
（Ⅲ）${{S}_{1}}^{2}$＞${{S}_{2}}^{2}$．（13分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，涉及到频率分布直方图的性质、列举法，方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、集合思想，是基础题．