Question

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合直线垂直的性质可得（$\frac{b}{a}$）×（-$\frac{b}{a}$）=-1，解可得a=b，由双曲线的几何性质可得c=$\sqrt{2}$a，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由该双曲线的两条渐近线相互垂直，
则有（$\frac{b}{a}$）×（-$\frac{b}{a}$）=-1，
解可得a=b，
则有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是依据题意，求出渐近线的方程．