Question

已知PC为球O的直径，A，B是球面上两点，且AB=2，∠APC=∠BPC=

π

4

，若球O的体积为

32π

3

，则棱锥A-PBC的体积为（　　）

• A、4

  3

• B、

  4 3

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3 2

  2

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意知OP=OC=OA=OB=AB=2，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=

π

4

，∠PAC=∠PBC=

π

2

，AO⊥PC，BO⊥PC，由此能求出棱锥A-PBC的体积．

解答： 解：如图，由题意知OP=OC=OA=OB=AB=2，
∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=

π

4

，
∠PAC=∠PBC=

π

2

，
AO⊥PC，BO⊥PC，
∴PC⊥平面AOB，
BP=BC=2

2

，
∴S_△PBC=

1

2

×BP×BC=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
取BO中点D，连结AD，则AD⊥BO，
又PC⊥面AOB，AD?平面AOB，∴AD⊥PC，
又BO∩PC=O，∴AD⊥平面BPC，
∵AD=

4-2

=

3

，
∴棱锥A-PBC的体积V=

1

3

×AD×S△PBC=

1

3

×

3

×4=

4 3

3

．
故选：B．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．